Astronomia to nie tylko podziwianie pięknego nieba. To również twarde wykorzystywanie praw fizyki i matematyki. Zapraszamy do analizy orbity komety Ikeya-Zhang. Tekst polecamy szczególnie uczniom liceów.

Na lekcjach fizyki, w dziale „Grawitacja” omawia się między innymi trzy prawa Keplera rządzące ruchem planet oraz innych ciał w Układzie Słonecznym (w tym również komet). Przypomnijmy je:

1. Planety poruszają się po orbitach o kształcie elips. W jednym z ognisk tych elips znajduje się Słońce. Można tu dodać, że komety mogą poruszać się również po torze hiperbolicznym, ale tego przypadku rozważać nie będziemy.

2. Promień wodzący planety (odcinek łączący ją ze Słońcem) zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola. Określa się to jako stałość prędkości polowej.

3. Trzecie potęgi średnich odległości planet od Słońca mają się do siebie tak, jak kwadraty ich okresów obiegu.

Wszystkie te prawa dotyczą jak już wspomniano również komet. W naszych obliczeniach skupimy się na widocznej w tej chwili na naszym niebie komecie Ikeya-Zhang.

Przede wszystkim potrzebna nam będzie powtórka z matematyki. Elipsa, zgodnie z definicją, to zbiór punktów których suma odległości od dwóch punktów (zwanych ogniskami) jest stała. Na rysunku punkty te oznaczono jako F₁ i F₂. Odcinek a=SP=SA nazywa się wielką półosią elipsy, odcinek b=SB – małą półosią elipsy. c to odległość ognisk elipsy od jej środka S. Ważnym parametrem jest mimośród elipsy opisujący miarę jej spłaszczenia e=c/a. Dla elipsy może on przyjmować wartości z przedziału (0;1). Warto zwrócić uwagę, że odcinek l (łączący punkt B i oznaczone na żółto Słońce) równy jest wielkiej półosi elipsy (należy skorzystać z definicji elipsy i porównać sumę odległości od ognisk obliczoną dla punktów B i P). Wynika z tego (a ściślej – z twierdzenia Pitagorasa), że:

a² = b² + c².

Nasza „prawdziwa” kometa krąży po elipsie o mimośrodzie e=0,991207. Przez punkt P swojej orbity przeszła 18 marca 2002 roku i znalazła się wtedy w odległości 0,5072AU (jednostki astronomicznej) od Słońca. Jednostka astronomiczna (AU) to średnia odległość Ziemi od Słońca (149,6 milionów kilometrów). Wiemy więc, że odległość w peryhelium d_P=PF₁=0,5072AU. Punkt P nazywany jest peryhelium i jest punktem orbity położonym najbliżej Słońca.

Możemy już stąd obliczyć wielką półoś orbity:

d_P = a-c = a – a*e = a (1-e), a stąd:
a = d_P / (1-e) = 57,68AU

W podobny sposób policzyć można maksymalną odległość komety od Słońca, czyli długość odcinka d_A=AF₁ (punkt A nazywa się aphelium i odpowiada największej odległości od Słońca):

d_A = a+c = a (1+e) = d_P * (1+e) / (1-e) = 114,86AU

Skorzystajmy teraz z trzeciego prawa Keplera. Wielka półoś orbity komety (a) i jej okres obiegu wokół Słońca (t) łączą się z odpowiednimi parametrami dla Ziemi (A=1AU i T=1rok) wzorem:

(t/T)² = (a/A)³

Stąd okres obiegu komety Ikeya-Zhang:

t = T * (a/A)^1,5 = 438 lat

Kometa gościła więc na naszym niebie około 1564 roku i powróci ponownie w okolicy roku 2440!

Co jeszcze można wydedukować z podanych danych? Korzystając z drugiego prawa Keplera znaleźć można prędkość komety w peryhelium i aphelium. Jak to zrobić? Przede wszystkim policzyć należy jej prędkość polową:

W_S = PI * a * b / T

(pole powierzchni elipsy podzielono tu przez okres obiegu komety).

Ale

b = (a² – c²)^0,5 = a * (1 – e²)^0,5

Natomiast okres obiegu komety (wyrażony nie w latach, lecz w sekundach przy jednoczesnym wyrażeniu wielkiej półosi w metrach – stąd dodatkowe współczynniki) wynosi:

T = 2 * PI * (a³/(GM))^0,5

gdzie:

G – stała powszechnego ciążenia równa 6,67*10^-11Nm²/kg²;

M – masa Słońca równa 1,99*10³⁰kg

Ostatni wzór uzyskać można z prawa powszechnego ciążenia przyrównując siłę przyciągania Słońce-kometa do wzoru na siłę dośrodkową.

Po podstawieniu powyższych wyrażeń otrzymujemy prędkość polową planety:

W_S = 0,5 * (GMa(1-e²))^0,5

Z drugiej strony prędkość polową można wyrazić wzorem:

W_S = 0,5 * d * V

gdzie:

d – obliczona wcześniej odległość komety od Słońca w peryhelium lub aphelium orbity;

V – szukana prędkość w peryhelium lub aphelium.

Porównując zapisane wzory na prędkość polową uzyskamy prędkość w peryhelium i w aphelium:

V_P = (GM/a)^0,5 * ((1+e)/(1-e))^0,5 = 59,02 km/s

V_A = (GM/a)^0,5 * ((1-e)/(1+e))^0,5 = 260 m/s

Prędkość w aphelium porównać można z prędkością samolotu odrzutowego, prędkość w peryhelium jest ponad 200 razy większa!

Zakończmy już ten wykład! Zapraszamy wszystkich na spacer i podziwianie komety Ikeya-Zhang, której orbitę z takim trudem obliczyliśmy.

W prowadzonych obliczeniach dokonaliśmy pewnych uproszczeń: między innymi nie uwzględniliśmy oddziaływania planet na kometę, oraz tak zwanych sił niegrawitacyjnych spowodowanych wyrzucaniem materii z powierzchni komety. Jednak pierwszy krok w kierunku badań mechaniki niebieskiej został uczyniony. Mamy nadzieję, że ta szczypta matematyki i fizyki nie zniechęci Państwa do lektury naszego serwisu 🙂