Często w naszych informacjach pojawiają się zdania typu “dwie gwiazdy odległe są o 3 stopnie” lub “średnica kątowa Słońca wynosi 32 minuty“. O co chodzi? Przecież odległości i średnice mierzy się w kilometrach lub latach świetlnych a nie w stopniach!

Wyjaśnienie należy rozpocząć od stwierdzenia, że obserwując nocne niebo w ogóle nie zdajemy sobie sprawy jak daleko od nas (i od siebie) znajdują się oglądane obiekty. Wszystkie one zdają się być “przyklejone” (rzutowane) do sfery niebieskiej. Nie należy się więc dziwić, że dawniej tak właśnie wyobradżano sobie świat.

Jeśli dwie gwiazdy widzimy na niebie blisko siebie (czyli prawie w tym samym kierunku), nie oznacza to jeszcze, że znajdują się one w przestrzeni blisko siebie. Spójrzmy dla przykładu na Kasjopestyję. Dwie najjaśniejsze spośród gwiazd tworzących charakterystyczne “W” (Schedar i Caph, położone w skrajnym prawym “ramieniu” litery) znajdują się na niebie blisko siebie, mają podobne jasności (około 2,5 magnitudo). Jednak ich odległości od Ziemi wynoszą odpowiednio około 230 i 55 lat świetlnych.

Często bliskość na niebie oznacza rzeczywistą bliskość w przestrzeni. Tak jest w przypadku układów wielokrotnych. Dwa najbardziej znane to rozróżnialny gołym okiem, odległy o 80 lat świetlnych układ Mizar-Alkor oraz widoczny jako podwójny w niewielkiej lunecie, odległy o 390 lat świetlnych układ Albireo (beta Łabędzia).

Bliskość na niebie nie musi być więc związana z bliskością fizyczną. Wprowadzono jednak skalę umożliwiającą określenie jaka jest widoma odległość dwóch gwiazd. Mierzy się ją w stopniach (dzieląc stopień na 60 minut, a każdą minutę na 60 sekund).

Wyobraźmy sobie trójkąt złożony z odcinków łączących następujące punkty: dwie gwiazdy i oko obserwatora (jak na rysunku). Kąt oznaczony literą alfa jest właśnie kątową odległością gwiazd. Im mniejszy on jest, tym bliżej siebie widzimy dwie gwiazdy. Podobnie określić można: średnicę kątową (na przykład planety) – wystarczy z oka obserwatora wykreślić odcinki łączące je z krawędziami widocznej tarczy, oraz wysokość ciała niebieskiego nad horyzontem – trójkąt budujemy z oka, ciała niebieskiego i punktu horyzontu znajdującego się bezpośrednio “pod” ciałem niebieskim.

Jak duże są to kąty? Spójrzmy na gwiazdy tworzące Pas Oriona (Alnitak, Alnilam i Mintaka). Odległość kątowa dwóch pierwszych to 1,25 stopnia, dwóch ostatnich – około 1 stopnia. Dwie najjaśniejsze gwiazdy w Bliźniętach (Kastor i Polluks) odległe są na niebie o 3,2 stopnia, a dwie najjaśniejsze w Lwie (Regulus i Denebola) – o 25 stopni).

Średnice kątowe tarcz Słońca i Księżyca wynoszą około pół stopnia (30 minut). Zmieniają się jednak nieco na skutek eliptyczności orbit Ziemi i Księżyca. Średnica kątowa Wenus zmienia się od 10 do 64 sekund kątowych, Marsa – od 4 do 25 sekund, a Jowisza – od 32 do 56 sekund.

Ludzkie oko odróżni dwie gwiazdy jeśli położone one będą dalej niż jedną minutę kątową (1/60 stopnia) od siebie. To tak zwana zdolność rozdzielcza oka. Zastosowanie lunety lub lornetki powoduje, że widzimy oglądane obiekty pod większymi kątami i jednocześnie zwiększa się zdolność rozdzielcza. Już niewielki teleskop pozwoli na oglądanie najjaśniejszych planet nie jako punktów (takimi widzimy je gołym okiem) lecz jako tarcz ze szczegółami.

Jak mierzyć kąty na niebie? Na przykład za pomocą wyciągniętej ręki. Palec z odległości równiej długości ramienia widzimy pod katem około 2 stopni, złożoną pięść – pod kątem 10 stopni, a rozłożone maksymalnie palce ręki – pod kątem nieco większym niż 20 stopni.

I jeszcze jedno wyliczenie umożliwiające wyobrażenie sobie kątów. Jeśli mamy ciało o rozmiarach (średnicy) D znajdujące się w odległości L (ciało musi być ustawione wielkością D prostopadle do kierunku patrzenia), to widzimy je pod kątem (wyrażonym w stopniach):

alfa = arcsin (D/L) = D/L * 180/PI

(ostatnia część wzoru jest przybliżeniem).

Dla przykładu – monetę 5-złotową (o średnicy 24 mm) widzimy pod kątem 1 stopnia z odległości 1,4 metra, pod kątem 1 minuty – z 83 metrów, a pod kątem 1 sekundy z odległości około 5 kilometrów!

A czy istnieje wzór, który umożliwia obliczenie odległości kątowej na niebie jedynie na podstawie rektascensji i deklinacji? Oczywiście. Jest dość skomplikowany, ale rachunki prowadzić można na kalkulatorze. Oznaczmy rektascensję dwóch gwiazd odpowiedni a1 i a2, a deklinacje przez d1 i d2.

Najpierw mnożymy obie rektascensje (i tylko je) przez 15 (umożliwi to przeliczenie ich z jednostek godzinnych na kątowe), a następnie podstawiamy do wzoru:

cos(alfa) = sin(d1) * sin(d2) + cos(d1) * cos(d2) * cos(a1-a2)

alfa to szukany kąt.

Warto zwrócić uwagę, że wzór ten jest również słuszny przy określaniu odległości między dwoma miejscami na kuli ziemskiej. Zamiast rektascensji należy jednak podstawić długość, a zamiast deklinacji – szerokość geograficzną. Pamiętać też należy, że jeden stopień odpowiada około 111,3 kilometra na powierzchni Ziemi.

Wzór podaje odległość mierzoną wzdłuż tak zwanego koła wielkiego. Cóż to takiego? Na sferze można narysować wiele kół. Na Ziemi są to na przykład równoleżniki i południki (brane parami “po obu stronach biegunów”). Wszystkie one są tak zwanymi kołami małymi. Wśród nich wyróżnić można koła wielkie, to znaczy te, w płaszczyźnie których znajduje się środek sfery (Ziemi). Kołami wielkimi są więc wszystkie południki, a spośród równoleżników – jedynie równik. Istnieją oczywiście bardziej skomplikowane koła wielkie. Aby je wykreślić wystarczy połączyć na globusie nitką dwa dość odległe miasta i napiąć nitkę. W ten sposób zawsze określimy tak zwaną ortodromę – najkrótszą drogę pomiędzy dwoma miejscami, fragment koła wielkiego. Długość tej właśnie linii określa powyższy wzór.

Skomplikowany wzór można (nieco) uprościć i korzystać z formuły:

alfa = [ (d1-d2)2 + (cos(d)*(a1-a2))2 ] 0,5

(przez “d” oznaczono średnią arytmetyczną deklinacji lub szerokości geograficznych).

Przykład: Policzmy odległość między środkiem Polski (51 stopni N, 19 stopni E) i Iraku (33 stopnie N, 45 stopni E). Kąt alfa okazuje się być równy około 26 stopni, co odpowiada odległości 2900 kilometrów). Różnica między wzorem dokładnym i przybliżonym to około 1 procenta. Dla punktów położonych na terenie Polski wzory dają wyniki różniące się o tysięczne części procenta.

Ortodroma jest linią niewygodną dla nawigacji. Proszę połączyć nitką na globusie centrum Polski i Chicago. Linie odbija bardzo na północ i przecina kolejne południki pod różnymi kątami. W trakcie lotu samolotu musi się więc wciąż zmieniać kurs. Wymaga to wykonywania ciągłych obliczeń.

Możliwy jest lot po linii o stałym azymucie. Linia taka nazywa się loksodromą. Jej długość jest oczywiście większa niż ortodromy.

Autor

Michał Matraszek