Treść zadania 4 z 3 etapu XXXIX OA.

W ciasnych układach podwójnych materia przepływająca z jednej gwiazdy na drugą tworzy dysk akrecyjny. Materia ta, opadając ku gwieździe, wytraca swój moment pędu, wydzielając duże ilości energii. Większość tej energii zostaje wypromieniowana. Oceń temperaturę dysku w pobliżu powierzchni gwiazdy.  Przyjmij, że masa gwiazdy, na którą opada materia, wynosi  M = 2M_{\odot} , jej promień to R = 10 km, a materia przepływa w tempie 10^{-8}M_{\odot}/rokMasa Słońca wynosi M = 2 \cdot 10^{30} kg Załóż, że materia opada ku gwieździe po ciasnej spirali.

Rozwiązanie

Zanim przejdziemy do rozwiązania, spróbujmy zastanowić się nad mechanizmem prowadzącym do powstawania dysków akrecyjnych oraz ogrzewania materii w nim się znajdującej. Kiedy materia zaczyna przepływać z drugiego obiektu do pierwszego na skutek silniejszego przyciągania grawitacyjnego przez masywniejszy obiekt, formuje strumień gazu zaczynający obiegać gwiazdę pierwszą po orbicie. W takim strumieniu dochodzi do zderzeń pomiędzy cząsteczkami gazu, które nie są idealnie sprężyste, zatem gaz ten stopniowo wytraca swoją prędkość, a tym samym energię kinetyczną, co skutkuje stopniowym zacieśnianiem orbity (mniejsza całkowita energia mechaniczna = niższa orbita). Rozproszona energia kinetyczna z kolei zmienia się przede wszystkim w energię wewnętrzną gazu, co skutkuje wzrostem jego temperatury.

Zadanie wymaga od nas podania temperatury bardzo blisko powierzchni gwiazdy. Aby to zrobić, musimy podzielić cały dysk na małe, bardzo wąskie pierścienie i policzyć temperaturę tego najbliżej gwiazdy. Trafiamy tutaj na pewien problem. Jeżeli będziemy chcieli liczyć stratę energii przez materię oraz pole dla nieskończenie cienkiego pierścienia, w obydwu przypadkach dostaniemy 0. Chwilowo załóżmy, że materia spada na gwiazdę z orbity kołowej o promieniu D – kołowość orbity jest uzasadniona założeniem o opadaniu po bardzo ciasnej spirali – oraz że spadając, tworzy pierścień, którego temperatura jest wszędzie jednakowa. Sytuację w widoku z góry przedstawia Rysunek 1.

Aleksander Łyczek

Rysunek 1: Schemat procesu opadania materii

Przez \dot{m}   oznaczmy masę przepływającą przez pierścień w ciągu 1 sekundy (strumień masy):

\dot{m} = 10^{-8}\frac{M_{\odot}}{rok} = 2\cdot 10^{22}\frac{kg}{365\cdot 86400 \ s} = 6{,}34\cdot 10^{14}\frac{kg}{s} .

Otrzymamy wtedy, że ilość wypromieniowanej energii przez materię na skutek zmiany promienia orbity kołowej z D na R wynosi, zgodnie ze wzorem na całkowitą energię mechaniczną w ruchu po orbicie kołowej (E=-\frac{GMm}{2R})

\frac{GM\dot{m}}{2R} - \frac{GM\dot{m}}{2D} = \frac{GM\dot{m}(D-R)}{2DR} .

Ponieważ dzieje się to w czasie 1 sekundy, ta energia jest ilościowo równa mocy wydzielanej przez ten pierścień. Natomiast powierzchnia, na której wydziela się energia, jest równa:

S=2\pi(D^2 - R^2)

(promieniuje zarówno z góry, jak i z dołu pierścienia). Używając wzoru na moc promieniowania ciała doskonale czarnego P = \sigma T^4 S   i podstawiając do niego P i S wyliczone wcześniej oraz rozwijając ze wzoru skróconego mnożenia D^2 - R^2 = (D - R)(D + R) otrzymamy wzór na temperaturę:

T=\sqrt[4]{\frac{GM\dot{m}}{4 \pi \sigma RD(R+D)}} ,

w którym ani licznik, ani mianownik wyrażenia po prawej nie zeruje się dla D = R. Oznacza to, że temperatura naszego cienkiego pierścienia w odległości R wynosi:

T=\sqrt[4]{\frac{GM\dot{m}}{8 \pi \sigma R^3}} .

Podstawiając wartości liczbowe, otrzymamy T=1{,}86 \cdot 10^7 K, czyli wartość kilka tysięcy razy większą niż przeciętna temperatura powierzchni gwiazdy. Jest to wartość jednak jak najbardziej zgodna z rzeczywistością, gdyż dyski akrecyjne emitują większość energii w zakresie rentgenowskim, czyli zgodnie z prawem Wiena ich temperatury powinny mieścić się w zakresie od kilkuset tysięcy do kilkuset milionów kelwinów.

Prowadząc obliczenia, dokonano kilku uproszczeń, przede wszystkim założono całkowitą zamianę energii mechanicznej gazu w promieniowanie oraz brak przepływu energii wewnątrz dysku w inny sposób niż grawitacyjnie (brak wymiany ciepła między warstwami dysku), podczas gdy część energii może być nadal uwięziona w formie mechanicznej w postaci fal akustycznych poruszających się w gazie albo ruchów konwekcyjnych bądź poświęcana na jonizację gazu.

Rozwiązanie nadesłał Kamil Ciebiera.

Autor

Redakcja AstroNETu
Redakcja AstroNETu