Treść zadania 1 z 3 etapu LXII OA.

Współczesne obserwacje są zgodne z modelem Wszechświata, w którym obowiązuje geometria euklidesowa. W tym modelu tempo ekspansji opisane za pomocą parametru Hubble’a (H), jest określone przez chwilową gęstość materii (\rho ) i stałą kosmologiczną (\Lambda ):

H^2= \frac{8 \rho G}{3} + \frac{\Lambda c^2}{3},

Oblicz przesuniecie ku czerwieni (redshift), dla którego parametr Hubble’a był 10 procent większy niż obecnie. Przyjmij, że obecna wartość parametru Hubble’a, tj. stałej Hubble’a H_0 = 67,8 \frac{km}{s \cdot Mpc}. Z praktycznych względów wartość stałej kosmologicznej oraz obecną gęstość materii ($latex \rho_0 $) definiujemy za pośrednictwem parametrów \Omega_\Lambda i \Omega_m:

\Omega_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{3 H^2_0} {,} \Omega_m = \frac{8 \pi G \rho_0}{3 H^2_0}

Wynoszą one odpowiednio: \Omega_\Lambda=0,692 i \Omega_m = 0,308.

Brakujące dane liczbowe wyszukaj w Wybranych stałych astronomicznych i fizycznych.

Rozwiązanie

Zadania tego typu często pojawiają się na olimpiadzie astronomicznej, ponieważ ich trudność polega na analizowaniu zależności, z którymi uczestnik finału mógł nie mieć styczności. Dodatkowo zwraca ono uwagę na nadal nierozstrzygnięty problem geometrii Wszechświata i sposobów jego badania poprzez sprawdzanie zgodności modeli z obserwacjami oraz sprawdzaniu przewidywań modeli opierających się na przyjętych założeniach. Problem ten przybliża, jak może wyglądać praca nad tymi zagadnieniami.

Zacznijmy od omówienia pojęć, które przydadzą się w zrozumieniu dalszego rozumowania. Czynnik skali, oznaczany jako R(t) to wielkość określająca odległość między dwoma punktami we wszechświecie w zależności wyłącznie od czasu. Może być to wielkość o wymiarze odległości (określamy wtedy wciąż zmieniający się „wzorcowy odcinek”, którego długość będzie równa czynnikowi skali), jak i bezwymiarowa (wtedy wybraną odległość można pomnożyć przez odpowiedni czynnik). W kosmologii pojawia się również pochodne pojęcie parametru Hubble’a (H ) równego tempu zmiany czynnika skali w czasie przez jego wartość (H=\frac{\dot{R(t)}}{R(t)}). W praktyce określa on, jak wraz ze wzrostem odległości od dowolnego punktu w przestrzeni zwiększa się szybkość oddalania od tego punktu obiektów (obserwowaną dla odległości rzędu megaparseków).

Wspomniane w zadaniu przesunięcie ku czerwieni to parametr określający, jak zmienia się obserwowana długość fali emitowanej przez dany obiekt. Co do wartości jest ona równa: z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda_{lab}}=\frac{\lambda_{obs}-\lambda_{lab}}{\lambda_{lab}}=\frac{R(t_{obs})}{R(t_{lab})}-1, gdzie indeksy obs oraz lab odnoszą się odpowiednio do wielkości w czasie obserwacji oraz w czasie odpowiadającemu pożądanemu przesunięciu ku czerwieni. Ostatnia równość wynika z faktu, że fala świetlna ulega wydłużeniu tak samo, jak odległości we Wszechświecie, czyli zgodnie z wartością czynnika skali, a więc jej długość jest do niej proporcjonalna z dokładnością do stałej, która się skraca.

Zauważmy, że dla stałej ilości materii we Wszechświecie gęstość materii jest wprost proporcjonalna do R(t)^{-3} oraz pewnej stałej, więc zapisujemy: z=(\frac{\rho}{\rho_0})^{3}-1 , gdzie \rho to gęstość materii dla poszukiwanego przesunięcia ku czerwieni, a $\latex rho_0 $ to gęstość obecnie.

Teraz zajmijmy się obliczeniem szukanego stosunku gęstości, dla ułatwienia rachunków podstawić należy stałe z równań (2) do równania (1), otrzymując: H^2=\Omega_m H_0^2 \frac{\rho}{\rho_0} + \Omega_{\Lambda} H_0^2 wiedząc dodatkowo, że \frac{H}{H_0}=1{,}1 otrzymujemy:

\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{(1{,}1)^2-\Omega_{\Lambda}}{\Omega_m}

Stałe \Omega_m i \Omega_{\Lambda} oznaczają stosunek gęstości odpowiednio materii i ciemnej energii próżni określanej przez stałą kosmologiczną \Lambda do ich gęstości krytycznych, dla których model Wszechświata mógłby okazać się otwarty (wiecznie rozszerzać rozszerzać w coraz szybszym tempie, aż do prędkości światła), statyczny (ekspansja ustabilizuje się) lub zamknięty (ekspansja ustąpi kurczeniu). Model otwarty odpowiada gęstościom mniejszym, statyczny równym, a zamknięty większym niż krytyczna.

Podstawiając dane z zadania otrzymujemy: z=3,75 .

W naszych rozważaniach nie uwzględniliśmy obecności promieniowania we Wszechświecie, co nie ma znaczącego wpływu na wyniki dla przesunięć ku czerwieni odpowiadających nawet z>11 (okolice krańca obserwowalnego Wszechświata), ponieważ już po 300 tysiącach lat po Wielkim Wybuchu promieniowanie przestało dominować we Wszechświecie (który ma obecnie niecałe 14 mld lat). Okolice momentu, kiedy Wszechświat ostygł na tyle, aby promieniowanie mogło go swobodnie przebywać oraz przestało w nim dominować można obserwować jako reliktowe promieniowanie tła.

Dodatkowo warto zwrócić uwagę na założenie o modelu świata, w którym obowiązuje geometria euklidesowa, bez tego założenia w równaniu (1) pojawiłby się dodatkowy człon - \frac{kc^2}{R(t)^2}, gdzie k zależy od przyjętej geometrii. Tak jak w przypadku gęstości krytycznych wyróżniamy trzy przypadki: gdy k<0 Wszechświat jest otwarty i ma geometrię hiperboliczną (jest nieskończony i nieograniczony); gdy k>0 jest zamknięty i ma geometrię sferyczną (jest nieskończony, ale ograniczony); a dla k=0 jest statyczny i obowiązuje w nim geometria euklidesowa, czyli dla nas „zwyczajna”.

Rozwiązanie nadesłał Jakub Garwoła.

Autor

Redakcja AstroNETu
Redakcja AstroNETu